De bekendste methode om de oppervlakte van een vierkant te berekenen is heel eenvoudig: het bestaat uit het kwadrateren van de lengte van een van de vier zijden. De wiskundige formule is: A = s2 { displaystyle A = s ^ {2}}
. Mais parfois, la seule information dont vous disposez est la longueur de la diagonale, qui n’est rien d’autre que la ligne droite qui relie les deux côtés opposés d'un carré. Si vous avez déjà étudié les triangles rectangles, vous pouvez apprendre à calculer la surface d'un carré en ne connaissant que la longueur de sa diagonale.
Étapes
Partie 1 sur 2: Calculer l’aire d’un carré à partir de la diagonale
Stap 1. Teken een vierkant
Het kenmerk van deze geometrische figuur is dat het vier perfect gelijke zijden heeft. Stel dat elke zijde even lang is gelijk aan s.
Stap 2. Probeer de klassieke formule voor de oppervlakte van een vierkant opnieuw te bekijken
Het gebied van elk parallellogram is gelijk aan de lengte vermenigvuldigd met de breedte. In dit specifieke geval heeft elke zijde dezelfde lengte s, dus de formule kan als volgt worden geschreven: Oppervlakte = s x s = s2. Deze stap zal later erg handig zijn.
Stap 3. Verbind twee tegenover elkaar liggende zijden om een diagonaal te vormen
Stel dat de lengte van de diagonaal gelijk is aan NS. De diagonaal verdeelt het vierkant in twee perfect identieke rechthoekige driehoeken.
Stap 4. Pas de stelling van Pythagoras toe op een van deze driehoeken
De stelling van Pythagoras wordt gebruikt om de lengte van de hypotenusa (de langste zijde) van een rechthoekige driehoek te berekenen: (eerste zijde)2 + (tweede zijde)2 = (hypotenusa)2, of a2 + b2 = c2 { displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}
. Maintenant que le carré a été divisé en deux triangles rectangles, vous pouvez appliquer ce théorème dans l'une des deux figures géométriques.
- Les deux côtés les plus courts du triangle représentent les côtés du carré, et chacun d’eux a la même longueur égale à s.
- L'hypoténuse représente la diagonale du carré et a une longueur égale à d.
- De ce raisonnement, nous déduisons que s2+s2=d2{displaystyle s^{2}+s^{2}=d^{2}}
Stap 5. Herschrijf de vergelijking zodat de variabele s2 ofwel aan één kant.
Onthoud: we weten al dat de oppervlakte van een vierkant gelijk is aan s2. Door de variabele s. te isoleren2, krijg je een nieuwe vergelijking om de oppervlakte van het vierkant te berekenen.
-
s2 + s2 = d2 { displaystyle s ^ {2} + s ^ {2} = d ^ {2}}
- Simplifiez: 2s2=d2{displaystyle 2s^{2}=d^{2}}
- Divisez les deux côtés par deux: s2=d22{displaystyle s^{2}={frac {d^{2}}{2}}}
- Aire = s2=d22{displaystyle s^{2}={frac {d^{2}}{2}}}
- Aire = d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}
Stap 6. Gebruik de resulterende formule in een voorbeeld
De stappen die we zojuist hebben besproken, zijn het wiskundige bewijs dat de formule Aire = d22 { displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}
fonctionne pour tout carré. remplacez simplement d par sa vraie valeur et résolvez l'équation.
- par exemple, supposons que la diagonale d’un carré est de 10 cm.
- aire = 1022{displaystyle {frac {10^{2}}{2}}}
= 1002{displaystyle {frac {100}{2}}}
= 50 centimètres carrés.
partie 2 sur 2: tenir compte d’autres informations
étape 1. calculez la longueur de la diagonale d'un côté
le théorème de pythagore dans un carré de côté égal à s et de diagonale égale à d donnera la formule suivante 2s2=d2{displaystyle 2s^{2}=d^{2}}
. calculez la valeur d si vous connaissez les longueurs des côtés et que vous souhaitez trouver la longueur de la diagonale.
- 2s2=d2{displaystyle 2s^{2}=d^{2}}
- par exemple, en supposant que les côtés d’un carré mesurent 7 cm, la diagonale sera égal à d = 7√2 centimètres, soit 9, 9 cm.
- si vous ne disposez pas d'une calculatrice, vous pouvez utiliser la valeur approximative de 1, 4 comme substitut à √2.
2s2=d2{displaystyle {sqrt {2s^{2}}}={sqrt {d^{2}}}}
s2=d{displaystyle s{sqrt {2}}=d}
étape 2. calculez la longueur d'un côté à partir de la diagonale
si vous avez la valeur de la diagonale et savez que la diagonale d'un carré égal à égale à s2{displaystyle s{sqrt {2}}}
, il est possible de diviser les deux côtés par 2{displaystyle {sqrt {2}}}
pour obtenir s=d2{displaystyle s={frac {d}{sqrt {2}}}}
- supposons que nous avons un carré dont la diagonale est de 10 cm, la longueur des côtés sera égale à 102=7, 071{displaystyle {frac {10}{sqrt {2}}}=7, 071}
- si vous avez besoin de calculer la longueur d’un côté et l’aire d’un carré à partir de la diagonale, il est possible d'utiliser cette formule dans un premier temps, puis d'élever au carré le résultat afin de trouver la valeur de l’aire: aire =s2=7, 0712=50{displaystyle =s^{2}=7, 071^{2}=50}
cm.
centimètres carrés. ce procédé mathématique est un peu moins précis, étant donné que 2{displaystyle {sqrt {2}}}
est un nombre irrationnel pouvant conduire à des erreurs d'arrondissement.
étape 3. interprétez la formule de l’aire
la preuve mathématique de la formule de l’aire d'un carré est a = d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}
tient la route, mais existe-t-il une autre méthode pour vérifier directement cela ? bien, d2{displaystyle d^{2}}
représente la surface d’un second carré dont la diagonale est considérée comme un côté. étant donné que la formule complète est d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}
, on en déduit que ce deuxième carré a exactement le double de la surface du carré de départ. vous pouvez tester ce concept tout seul.
- dessinez un carré sur une feuille de papier. assurez-vous que tous les côtés ont la même longueur.
- mesurez la longueur de la diagonale. maintenant, tracez un second carré ayant des côtés de longueur égale à ce nombre.
- faites une copie identique du premier carré pour obtenir 2 autres carrés. maintenant, découpez tous les trois carrés.
- découpez les deux petits carrés sous une forme quelconque, de sorte à pouvoir les arranger dans le grand carré. ils devraient pouvoir remplir parfaitement l'espace disponible, vous prouvant ainsi que l’aire du plus grand carré est exactement égale au double de celle du plus petit carré.
conseils
- cette équation simple est utilisée dans divers domaines de la vie réelle, par exemple en cristallographie, en chimie et en art. par exemple, vous pouvez vous en servir pour calculer l’aire d'un terrain au cours d'une étude topographique ou lorsque vous devez utiliser des techniques de perspective géométrique pour photographier un paysage ou peindre quelque chose. pour ce faire, mesurez simplement la distance parcourue et imaginez une grille avec cette distance comme diagonale.
- si vous préférez une approche graphique, ou si vous voulez apprendre à utiliser des tableaux et des graphiques dans l'art, parcourez les articles de la catégorie:mathématiques ou faites des recherches sur internet.
- si vous ne disposez pas d'une calculatrice et avez besoin d’obtenir un résultat très précis de la racine carrée de 2, il y a des façons de le faire à la main. l’une des façons de calculer manuellement la valeur d'un radical consiste à utiliser la méthode de newton-raphson.