Van twee breuken wordt gezegd dat ze "equivalent" zijn als ze dezelfde waarde hebben. Weten hoe een breuk in een andere equivalente breuk moet worden omgezet, is een wiskundige vaardigheid die zowel op de universiteit als op de universiteit nuttig is. Het doel van dit artikel is om u te laten zien hoe u equivalente breuken kunt verkrijgen, zowel met eenvoudige hulpmiddelen (zoals vermenigvuldigen en delen) als met meer complexe technieken.
Stappen
Methode 1 van 5: Verkrijg equivalente breuken
Stap 1. Vermenigvuldig de teller en de noemer met hetzelfde getal
Twee gelijkwaardige maar verschillende breuken hebben gemeen dat hun tellers veelvoud tussen hen zijn, evenals hun noemers. Met andere woorden, als u de teller en de noemer van een breuk met dezelfde waarde vermenigvuldigt, krijgt u een breuk die gelijk is aan de eerste. Uiteindelijk zijn deze twee breuken niet gelijk, maar hun verhoudingen zijn identiek.
- Neem als voorbeeld de breuk 4/8. Vermenigvuldig de teller en de noemer met 2. We krijgen: (4 x 2) / (8 x 2) = 8/16. De twee breuken, 4/8 en 8/16, zijn equivalent.
- (4 x 2) / (8 x 2) kan worden geschreven als: 4/8 x 2/2. We herinneren je eraan dat het product van twee breuken wordt gedaan door de tellers ertussen te vermenigvuldigen en door hetzelfde te doen met de noemers, blijft het breukteken ongewijzigd.
- Je weet dat de breuk 2/2 gelijk is aan 1. Het is daarom makkelijker te begrijpen waarom 4/8 en 8/16 equivalent zijn. We deden: 4/8 × (2/2) = 8/16. Als we deze gelijkheid herschrijven, hebben we: 4/8 × 1 = 4/8. Conclusie: 4/8 = 8/16.
- Elke breuk heeft talloze equivalente breuken. Elke keer dat je de teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met hetzelfde gehele getal, krijg je een nieuwe breuk die gelijk is aan de beginbreuk. Dit wil zeggen als het er veel zijn!
Stap 2. Deel de teller en noemer door hetzelfde getal
In plaats van te vermenigvuldigen, kunnen we ook een breuk delen door dezelfde waarde om een equivalente breuk te verkrijgen. Het is voldoende om de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde geheel te delen, je krijgt een nieuwe breuk die gelijk is aan de startbreuk. In het geval van delen moet er één voorzorgsmaatregel genomen worden - de delingen van de teller en de noemer moeten gehele getallen zijn, anders geen equivalente breuk!
Laten we de breuk 4/8 opnieuw nemen. Als je, in plaats van te vermenigvuldigen, de teller en de noemer door 2 deelt, krijg je: (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 en 4 zijn gehele getallen, deze laatste breuk is gelijk aan 4/8
Methode 2 van 5: Eenvoudige vermenigvuldiging gebruiken om equivalentie te bepalen
Stap 1. Zoek de factor (= getal) waarmee je de kleinste noemer moet vermenigvuldigen om de grootste te vinden
In veel oefeningen worden we ertoe gebracht ons af te vragen of twee breuken al dan niet equivalent zijn. Door dit getal te vinden waarmee je van de kleine naar de grote noemer kunt gaan, ben je op weg om de twee breuken tot dezelfde noemer te reduceren en ze gemakkelijk te kunnen vergelijken.
-
Laten we teruggaan naar breuken 4/8 en 8/16. De meeste noemer is 8 en als we het vermenigvuldigen met 2, krijgen we de tweede noemer, 16. Dit beroemde getal waar we het over hadden is hier:
2e stap..
-
Als de noemers grotere getallen zijn, deelt u gewoon de grotere door de kleinere. Hier, 16 gedeeld door 8, geeft
2e stap.: het is hetzelfde antwoord!
- Dit getal is niet noodzakelijkerwijs een geheel getal. Dus, met 2 en 7 als noemers, krijgen we een verhouding van 1 tot 3, 5 (7 = 2 x 3, 5).
Stap 2. Vermenigvuldig de teller en noemer van de breuk teruggebracht tot de eenvoudigste uitdrukking met het eerder gevonden getal
Twee verschillende maar gelijkwaardige breuken hebben per definitie tellers en meerdere noemers van elkaar. Met andere woorden, het feit van het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal geeft een equivalente breuk. Dat de elementen van equivalente breuken verschillend zijn, betekent niet dat ze niet dezelfde waarde hebben.
- Dus onze breuk uit stap 1, 4/8, kan worden omgezet in een equivalente breuk door de twee termen van de breuk te vermenigvuldigen met de eerder gevonden waarde 2. Dit geeft: (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. De twee breuken zijn equivalent.
Methode 3 van 5: Een eenvoudige deling gebruiken om de equivalentie te bepalen
Stap 1. Druk elke breuk uit als een decimaal
Als je te maken hebt met twee breuken zonder onbekenden, is het mogelijk om ze in decimale vorm uit te drukken om te zien of ze equivalent zijn. Aangezien breuken niets meer zijn dan delen, is het mogelijk om deze bewerkingen uit te voeren om eenvoudig vast te stellen of twee breuken al dan niet equivalent zijn.
- Laten we teruggaan naar onze breuk 4/8. Deze breuk kan worden beschouwd als de eenvoudige deling van 4 door 8, d.w.z. 0,5). Meer in het algemeen, als twee verschillende breuken dezelfde decimale waarde hebben na deling, dan zijn ze equivalent.
- Als je breuken in decimale vorm uitdrukt, moet je delen tot het einde, dat wil zeggen met alle decimalen. Dus 1/3 = 0, 333…, terwijl 3/10 = 0, 3. Toegegeven, de eerste decimaal is hetzelfde, maar niet de volgende: de twee breuken zijn dus niet equivalent!
Stap 2. Deel de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal en je krijgt een equivalente breuk
Deze methode is van toepassing op alle fracties, hoewel voor complexere fracties enkele aanvullende bewerkingen vereist zijn. We hebben gezien dat we met hetzelfde getal kunnen vermenigvuldigen, weten dat we ook een breuk door hetzelfde getal kunnen delen om een equivalente breuk te krijgen. De enige te respecteren voorzorgsmaatregel: de verkregen breuk mag in teller en noemer alleen gehele getallen bevatten.
- Laten we onze breuk 4/8 opnieuw nemen. Als we, in plaats van te vermenigvuldigen, de teller delen en de noemer door 2, zouden we krijgen: (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 en 4 zijn gehele getallen, 2/4 is een equivalente breuk van 4/8.
Stap 3. Verminder elke breuk tot de eenvoudigste uitdrukking
De meeste breuken kunnen worden teruggebracht tot hun eenvoudigste uitdrukking en daarvoor moeten we ze delen door wat de "grootste gemene deler" of GCD wordt genoemd. Deze methode is in dezelfde geest als de reductie tot dezelfde noemer, behalve dat deze reductie zal gebeuren met de kleinste gemene deler.
- In een breuk teruggebracht tot zijn eenvoudigste uitdrukking, kunnen de teller en de noemer niet langer gelijktijdig worden verminderd of, als je wilt, dan is er geen geheel getal dat in staat is om de twee componenten van de breuk tegelijkertijd te delen. Om een breuk om te zetten in een equivalente, maar onherleidbare breuk, deelt u de teller en noemer door hun "grootste gemene deler".
-
Met "Grootste Gemene Deler" (GCD) van de teller en de noemer, bedoelen we "het grootste gehele getal dat deze twee gehele getallen tegelijkertijd deelt". Dus voor de breuk 4/8,
Stap 4. is het grootste gehele getal dat tegelijkertijd 4 en 8 deelt: het is de GCD. Als we elk element van de breuk 4/8 delen door 4, krijgen we een breuk teruggebracht tot de eenvoudigste uitdrukking (we zeggen ook "onherleidbaar"). We hebben dus: (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Voor de breuk 8/16 is de GCD 8, wat erop neerkomt dat (8/16) ÷ 8 = 1/2, onherleidbare breuk.
Methode 4 van 5: Het kruisproduct gebruiken om een onbekende te vinden
Stap 1. Maak je twee breuken gelijk
We gaan het uitwendige product gebruiken in opgaven van breuken waarvan we van tevoren weten dat ze equivalent zijn, maar die een onbekende ("x") bevatten. Het doel is dan om de waarde van "x" te vinden. We weten vanaf het begin dat de breuken equivalent zijn, omdat er een "="-teken tussen staat. Aan de andere kant is het oplossen van deze vergelijking, omdat het zo is, op het eerste gezicht een beetje moeilijk, maar dat is het niet. We beschikken inderdaad over een zeer praktische procedure voor dit soort vergelijkingen: het uitwendige product!
Stap 2. Het uitwendig product is om de elementen van de breuken te vermenigvuldigen met een kruisje, een "X" als je dat liever hebt
Concreet vermenigvuldigen we de teller van een van de breuken met de noemer van de andere en vice versa. We zetten deze twee producten op gelijke voet en lossen het op.
Laten we teruggaan naar onze twee vorige voorbeelden: 4/8 en 8/16. Natuurlijk hebben we geen onbekenden, maar we kunnen deze methode nog steeds gebruiken, nu we weten dat deze twee breuken equivalent zijn. Het kruisproduct geeft: 4 x 16 = 8 x 8, of 64 = 64. CQFD! Als met andere breuken deze gelijkheid niet was geverifieerd, dan zouden de breuken niet equivalent zijn geweest
Stap 3. Vul een onbekende in
Omdat het uitwendig product het mogelijk maakt om snel te verifiëren dat twee breuken equivalent zijn, kun je het probleem compliceren door een onbekende factor in te voeren.
-
Beschouw als voorbeeld de volgende vergelijking: 2 / x = 10/13. Met het uitwendige product moet je 2 vermenigvuldigen met 13 en 10 met x, en dan deze twee grootheden gelijk maken:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Het vinden van "x" is dus kinderspel. x = 26/10 = 2, 6, wat ons de volgende equivalentie geeft: 2/2, 6 = 10/13.
Stap 4. Gebruik het uitwendige product om vergelijkingen op te lossen die meerdere keren dezelfde onbekende of verschillende onbekenden bevatten
Het grote voordeel van het kruisproduct is dat het net zo goed werkt met eenvoudige breuken (zoals we hebben gezien!) als met veel gecompliceerdere breuken. Dus voor twee breuken die een onbekende bevatten, zal het doel tijdens de berekeningen bestaan uit het groeperen van de onbekende. Op dezelfde manier, als je, in teller of in noemer, uitdrukkingen tussen haakjes hebt die een onbekende bevatten (van het type: x + 1), is het noodzakelijk om je toevlucht te nemen tot de distributiviteit om te ontwikkelen, en dan om je vergelijking klassiek op te lossen.
-
Beschouw bijvoorbeeld de volgende vergelijking: ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Om het op te lossen, gebruiken we daarom het kruisproduct:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, we kunnen vereenvoudigen door 2x aan elke kant te verwijderen
- 2 = 2x + 12, isoleer vervolgens "x" door 12 aan elke kant te verwijderen
- -10 = 2x, tenslotte moet je elke zijde door 2 delen om "x" te krijgen
- - 5 = x of x = - 5
Methode 5 van 5: De discriminant gebruiken om een onbekende te vinden
Stap 1. Maak het uitwendige product van de twee breuken
Met de problemen die het gebruik van de resolutie via de discriminant vereisen, is het noodzakelijk om eerst en altijd te beginnen met het kruislings maken van het product. Meestal, wanneer we het uitwendige product maken van enigszins complexe breuken die het onbekende meerdere keren bevatten, krijgen we een enigszins gecompliceerde vergelijking, vaak van de kwadratische, die niet zo gemakkelijk kan worden opgelost als het vorige geval. Het is dan noodzakelijk om toevlucht te nemen tot meer uitgebreide methoden, zoals factorisatie en/of de discriminantmethode.
-
Beschouw bijvoorbeeld de volgende vergelijking: ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). We beginnen met het kruisproduct:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Stap 2. Rangschik de vergelijking als een kwadratische vergelijking
In dit stadium moeten we inderdaad de vergelijking herschrijven in de klassieke vorm: ax2 + bx + c = 0. Het volstaat dat het tweede lid van de vergelijking gelijk is aan 0. Hier trek je 12 af van de twee leden van de vergelijking: 2x2 - 2 (-12) = 12 (-12), of 2x2 - 14 = 0.
- Bepaalde coëfficiënten zijn gelijk aan 0. Zeker, 2x2 - 14 = 0 is een vergelijking in zijn eenvoudigste vorm, maar we kunnen hem net zo goed zo schrijven: 2x2 + 0x + (-14) = 0. In het begin kun je de vergelijking in al zijn extensie schrijven, met 0 als coëfficiënt; later heb je het niet meer nodig.
Stap 3. Zoek de oplossingen (of wortels) van de kwadratische vergelijking
Uitgaande van de formule voor de wortels, laat x = (-b +/- √ (b2 - 4ac)) / 2a), maak gewoon de digitale aanvraag met uw waarden. Wees niet bang voor de lengte van deze formule! Zoek de waarden "a, b, c" van uw vergelijking op om ze op te lossen en plaats ze, zonder een fout te maken, in de formule. Voorbeeld:
- x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a. Onze vergelijking is: 2x2 - 14 = 0, dus a = 2, b = 0 en c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10, 58/4)
- x = +/- 2, 64
Stap 4. Controleer door de numerieke toepassing uit te voeren door deze waarde van "x" te nemen en deze terug te plaatsen in de startvergelijking
Als je in deze vergelijking "x de gevonden waarde(n) geeft en de vergelijking geldt, dan is je berekening correct." In ons voorbeeld hebben we twee oplossingen: x = 2, 64 en x = - 2, 64. We vervangen "x" en we zien dat de vergelijking inderdaad is geverifieerd.
Het advies
- Bij nader inzien is het converteren naar equivalente breuken niets meer dan vermenigvuldigen met 1. Om 1/2 in 2/4 om te zetten, vermenigvuldigt u de teller en de noemer met 2, wat hetzelfde is als het vermenigvuldigen van 1/2 met 2/2, of met 1.
-
Als u wilt, kunt u, om de berekeningen te vereenvoudigen, eerst uw gemengde getallen omzetten in onechte breuken. Niet alle breuken die we u kunnen geven, zullen altijd even gemakkelijk om te rekenen zijn als de eerder bestudeerde breuk, 4/8. Sommige gemengde getallen (1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, enz.) zijn dus moeilijker om te zetten in equivalente breuken. Om een equivalente breuk uit een gemengd getal te verkrijgen, zijn er twee mogelijkheden: dat is je verandert het gemengde getal in een onechte breuk, dan vind je de equivalente breuk, zoals weergegeven, dat is je behoudt de vorm van het gemengde getal en je geeft een ander gemengd getal als antwoord.
- Om een gemengd getal om te zetten in een oneigenlijke breuk, vermenigvuldigt u het hele deel van het getal met de noemer van het breukdeel en voegt u vervolgens de teller toe, allemaal teruggebracht tot de noemer. Dus met 1 2/3 doen we: 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Vervolgens kunt u berekeningen uitvoeren om equivalente breuken te vinden. U kunt bijvoorbeeld doen: 5/3 × 2/2 = 10/6, welke fractie perfect gelijk is aan 1 2/3.
- In sommige gevallen is het niet nodig om het gemengde getal om te zetten in een oneigenlijke breuk. Op dit punt negeren we het hele deel en transformeren we alleen het fractionele deel. Neem het voorbeeld van 3 4/16, we houden alleen rekening met 4/16 die we delen door 4/4: 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. We houden het hele deel en we plaatsen de nieuwe gereduceerde breuk: we krijgen dan een nieuw gemengd getal, 3 1/4.
Waarschuwingen
- Het verkrijgen van equivalente breuken kan alleen worden bereikt door de startbreuken te vermenigvuldigen of te delen. We vermenigvuldigen of delen deze altijd door 1 (of liever door een breukvorm van 1, zoals 2/2, 3/3, etc.) Nooit, we kunnen niet door optellen of aftrekken!
-
In een product van breuken vermenigvuldigen we de tellers ertussen, dan de noemers op dezelfde manier en we hebben het resultaat. Bij het optellen of aftrekken van breuken is het uitgesloten om hetzelfde te doen: eerst moeten de breuken worden teruggebracht tot dezelfde noemer
- Daarboven zagen we: 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Als we, in plaats van te delen, 4/4 hadden opgeteld, hadden we een radicaal ander antwoord gekregen, namelijk 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 of 3/2. Geen van deze waarden is gelijk aan 4/8!